如何學(xué)好高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽

　　一、競(jìng)賽簡(jiǎn)介

　　1.全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽

　　全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽旨在選拔在數(shù)學(xué)方面有突出特長(zhǎng)的同學(xué)，讓他們進(jìn)入全國(guó)知名高等學(xué)府，而且選拔成績(jī)比較優(yōu)異的同學(xué)進(jìn)入更高級(jí)別的競(jìng)賽，直至國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克（IMO）。并且通過(guò)競(jìng)賽的方式，培養(yǎng)中學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)的興趣，讓學(xué)生們愛(ài)好數(shù)學(xué)，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，激發(fā)學(xué)生們的鉆研精神，獨(dú)立思考精神以及合作精神。

　　2.中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克（CMO）

　　冬令營(yíng)邀請(qǐng)各省、自治區(qū)、直轄市全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽中的優(yōu)勝者，以及香港、澳門、俄羅斯、新加坡等代表隊(duì)參加，人數(shù)200人左右(現(xiàn)擴(kuò)大為300人左右)，分配原則是每省市區(qū)至少三人，然后設(shè)立分?jǐn)?shù)線擇優(yōu)選取。冬令營(yíng)為期5天，第一天為開幕式，第二、第三天考試，第四天學(xué)術(shù)報(bào)告或參觀游覽，第五天閉幕式，宣布考試成績(jī)和頒獎(jiǎng)。

　　CMO考試完全模擬IMO進(jìn)行，每天3道題，限四個(gè)半小時(shí)完成。每題21分（為IMO試題的3倍，為符合中國(guó)人的認(rèn)知習(xí)慣），6個(gè)題滿分為126分。題目難度較國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克為高，技術(shù)性極強(qiáng)。頒獎(jiǎng)與IMO類似，設(shè)立一、二、三等獎(jiǎng)，分?jǐn)?shù)最高的約前30名選手將組成參加當(dāng)年國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克（International Mathematical Olympiad，簡(jiǎn)稱IMO）的中國(guó)國(guó)家集訓(xùn)隊(duì)。 獲獎(jiǎng)選手都可以取得北京大學(xué)、清華大學(xué)、復(fù)旦大學(xué)、南京大學(xué)、中國(guó)科技大學(xué)、浙江大學(xué)、上海交通大學(xué)等全國(guó)一流的名牌大學(xué)的錄取資格。

　　3.國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克（IMO）

　　國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克(International Mathematical Olympiad，簡(jiǎn)稱IMO)是世界上規(guī)模和影響最大的中學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科競(jìng)賽活動(dòng)。

　　正如專家們指出：IMO的重大意義之一是促進(jìn)創(chuàng)造性的思維訓(xùn)練，對(duì)于科學(xué)技術(shù)迅速發(fā)展的今天，這種訓(xùn)練尤為重要。數(shù)學(xué)不僅要教會(huì)學(xué)生運(yùn)算技巧，更重要的是培養(yǎng)學(xué)生有嚴(yán)密的思維邏輯，有靈活的分析和解決問(wèn)題的方法。[5]

　　國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽對(duì)于促進(jìn)中學(xué)數(shù)學(xué)教育的改革，激發(fā)青少年對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣，選拔優(yōu)秀的數(shù)學(xué)人才等都起到了越來(lái)越大的作用，受到人們的普遍重視。數(shù)學(xué)奧林匹克傳統(tǒng)將永遠(yuǎn)發(fā)揚(yáng)光大。

　　二、數(shù)學(xué)競(jìng)賽的意義

　　與其他學(xué)科競(jìng)賽一樣，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽除了能在升入高校方面獲得保送或降分的優(yōu)惠外，還能培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力，這對(duì)學(xué)生的整個(gè)大學(xué)學(xué)習(xí)乃至今后的學(xué)術(shù)研究或是社會(huì)工作是尤為重要的。

　　此外數(shù)學(xué)競(jìng)賽學(xué)到一定深度后就會(huì)發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)競(jìng)賽不再是由知識(shí)結(jié)構(gòu)和解題方法組成，而是對(duì)思維能力的培養(yǎng)和運(yùn)用，而思維能力的價(jià)值是遠(yuǎn)超過(guò)數(shù)學(xué)本身的，這將會(huì)對(duì)學(xué)生以后對(duì)問(wèn)題的思考與對(duì)事物的判斷等產(chǎn)生不可估量的影響。

　　三、關(guān)于學(xué)員選擇

　　不是所有學(xué)生都可以學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽，要想學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽必須同時(shí)具備以前條件：

　　1、高考數(shù)學(xué)可以輕松應(yīng)對(duì)；

　　2、對(duì)數(shù)學(xué)競(jìng)賽有興趣，自發(fā)選擇學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽；

　　3、具備自主學(xué)習(xí)能力；

　　4、高考涉及的其他學(xué)科不存在太大問(wèn)題，或個(gè)人的競(jìng)賽前景遠(yuǎn)優(yōu)于高考前景。

　　四、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽的方法

　�。ㄒ唬┤珖�(guó)聯(lián)賽一試

　　此模塊立足于高考又高于高考，題目難時(shí)間短，要想攻克此模塊需在鞏固高考基礎(chǔ)的前提下多做難題并分析總結(jié)，輔之以足夠的模擬訓(xùn)練。

　�。ǘ�）全國(guó)聯(lián)賽二試、CMO、IMO

　　全國(guó)聯(lián)賽二試、CMO、IMO都是依據(jù)中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)普及工作委員會(huì)于2006年8月制定競(jìng)賽大綱命題的，這也是數(shù)學(xué)競(jìng)賽的核心部分。

　　1. 思維啟迪

　　數(shù)學(xué)競(jìng)賽與高考數(shù)學(xué)的差異不只是在命題大綱上，更表現(xiàn)在思維方式上。如果說(shuō)一個(gè)在數(shù)學(xué)方面不是明顯太弱的學(xué)生可以通過(guò)大量的難題訓(xùn)練來(lái)讓自己的高考數(shù)學(xué)成績(jī)提高的話，那么在數(shù)學(xué)競(jìng)賽上這是完全行不通的。從高考數(shù)學(xué)到競(jìng)賽數(shù)學(xué)，整個(gè)思維方式和學(xué)習(xí)方法的轉(zhuǎn)變，如果沒(méi)有一位有能力的教練的幫助，必然事倍功半。很多競(jìng)賽高手在后期的能力都是超越當(dāng)初的入門教練的，但是教練在入門時(shí)提供的如果思考如果分析如果解題如何總結(jié)的方法卻尤為重要。

　　2. 專題學(xué)習(xí)與思維養(yǎng)成

　　這部分一共分為代數(shù)、平面幾何、數(shù)論、組合四個(gè)模塊，學(xué)生應(yīng)當(dāng)對(duì)四塊作專題學(xué)習(xí)，并在學(xué)習(xí)過(guò)程中熟悉并運(yùn)用競(jìng)賽思維。整個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程最后可以有教練引導(dǎo)，但學(xué)生的自主學(xué)習(xí)意愿與自主學(xué)習(xí)能力尤為重要。

　　3. 專題分析與訓(xùn)練

　　競(jìng)賽中有很多重要的題型或是模型最好是由教練來(lái)點(diǎn)撥，輔之以足夠的訓(xùn)練可以收獲良好的效果。

　　4. 賽前模擬

　　賽前模擬的意義不言自明。

　　五、全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽、CMO、IMO大綱

　　全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽（一試）所涉及的知識(shí)范圍不超出教育部2000年《全日制普通高級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》。

　　全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽（二試）在知識(shí)方面有所擴(kuò)展，適當(dāng)增加一些教學(xué)大綱之外的內(nèi)容，所增加內(nèi)容是：

　　1．平面幾何

　　幾個(gè)重要定理：梅涅勞斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理；

　　三角形旁心、費(fèi)馬點(diǎn)、歐拉線；

　　幾何不等式；

　　幾何極值問(wèn)題；

　　幾何中的變換：對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)；

　　圓的冪和根軸：

　　面積方法，復(fù)數(shù)方法，向量方法，解析幾何方法。

　　2．代數(shù)

　　周期函數(shù)，帶絕對(duì)值的函數(shù)；

　　三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函數(shù)；

　　遞歸，遞歸數(shù)列及其性質(zhì)，一階、二階線性常系數(shù)遞歸數(shù)列的通項(xiàng)公式；

　　第二數(shù)學(xué)歸納法；

　　平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函數(shù)及其應(yīng)用；

　　復(fù)數(shù)及其指數(shù)形式、三角形式，歐拉公式，棣莫弗定理，單位根；

　　多項(xiàng)式的除法定理、因式分解定理，多項(xiàng)式的相等，整系數(shù)多項(xiàng)式的有理根*，多項(xiàng)式的插值公式*；

　　n次多項(xiàng)式根的個(gè)數(shù)，根與系數(shù)的關(guān)系，實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式虛根成對(duì)定理；

　　函數(shù)迭代，求n次迭代*，簡(jiǎn)單的函數(shù)方程*。

　　3．初等數(shù)論

　　同余，歐幾里得除法，裴蜀定理，完全剩余系，不定方程和方程組，高斯函數(shù)[x]，費(fèi)馬小定理，格點(diǎn)及其性質(zhì)，無(wú)窮遞降法*，歐拉定理*，孫子定理*。

　　4．組合問(wèn)題

　　圓排列，有重復(fù)元素的排列與組合，組合恒等式；

　　組合計(jì)數(shù)，組合幾何；

　　抽屜原理；

　　容斥原理；

　　極端原理；

　　圖論問(wèn)題；

　　集合的劃分；

　　覆蓋；

　　平面凸集、凸包及應(yīng)用*。

　　(有*號(hào)的內(nèi)容加試中暫不考，但在CMO、IMO中可能考。)