數(shù)學(xué)專(zhuān)項(xiàng)輔導(dǎo)：集合大小定義的基本要求(3)
2011-09-27 11:17:22搜狐教育專(zhuān)區(qū)
所謂的結(jié)構(gòu)，就是在元素間增加聯(lián)系，使得它們不能隨便亂動(dòng)。建筑工地上搭的腳手架就是一種結(jié)構(gòu)，上面的鋼管啊鐵絲啊木板啊都不是隨隨便便堆在一起的，而是按照一定的方式聯(lián)系在一起。修建完了一幢大樓后，工人們會(huì)把它們都拆下來(lái)再拿到另一個(gè)工地上去安裝使用，雖然構(gòu)成腳手架的元素——鋼管鐵絲木板還是原來(lái)的那些，但是腳手架卻完全是另一個(gè)了，變化了的其實(shí)是結(jié)構(gòu)。
數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)也一樣。比如說(shuō)上面我們講的序關(guān)系，就是元素之間的一種聯(lián)系。我們可以很方便地驗(yàn)證自然數(shù)的大小滿足我們前面所說(shuō)的偏序關(guān)系的三個(gè)條件，而且每?jī)蓚�(gè)自然數(shù)之間都可以比較大小，所以在自然數(shù)集合上有一個(gè)全序關(guān)系，這個(gè)關(guān)系就給了自然數(shù)集合一個(gè)結(jié)構(gòu)，就叫序結(jié)構(gòu)。你可以把擁有全序結(jié)構(gòu)的自然數(shù)集合仍舊想像成上面那個(gè)裝了球的袋子，只是這時(shí)候那些球已經(jīng)被從小到大串成了一串，不能隨便亂跑了。平時(shí)我們想像自然數(shù)集合，可能會(huì)把它想成數(shù)軸上離原點(diǎn)越來(lái)越遠(yuǎn)的一串點(diǎn)，或者1、2、3、……這樣從小到大的一列數(shù)，不知不覺(jué)地，我們已經(jīng)把序結(jié)構(gòu)想像進(jìn)去了。當(dāng)我們感到“正偶數(shù)的個(gè)數(shù)應(yīng)該是自然數(shù)個(gè)數(shù)的一半，因?yàn)槊扛粢粋�(gè)數(shù)就有一個(gè)是偶數(shù)”，我們是在想像那條串成一串的球，偶數(shù)球得老老實(shí)實(shí)地和奇數(shù)球一個(gè)隔一個(gè)地串在一起，而不是雜亂無(wú)章放在袋里，后面這種情況是談不上“每隔一個(gè)”的。
在考慮到自然數(shù)的序結(jié)構(gòu)后，我們就可以給“自然數(shù)的個(gè)數(shù)是正偶數(shù)的個(gè)數(shù)的兩倍”這種直覺(jué)一個(gè)合理的解釋了�？紤]小于100的正偶數(shù)，一共有49個(gè)，所以占小于100的自然數(shù)的49/99，接近1/2;如果把“小于100”改成“小于1000”，那么結(jié)果是499/999，更接近1/2了;把上面的100和1000換成越來(lái)越大的數(shù)字，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)正偶數(shù)所占的比例會(huì)越來(lái)越接近1/2。這就提示我們可以采用這樣一種關(guān)于自然數(shù)的子集的大小的定義：如果A是自然數(shù)的一個(gè)子集，令p(n)為A中小于n的元素的個(gè)數(shù)，我們稱(chēng)limn→∞p(n)/n(就是當(dāng)n趨向無(wú)窮大時(shí)，p(n)/n的極限)為A相對(duì)于自然數(shù)集合的大小。在這個(gè)定義下，正偶數(shù)集合相對(duì)于自然數(shù)集合的大小就是1/2。按照這樣的定義，素?cái)?shù)集合相對(duì)于自然數(shù)集合的大小是0，這也就是所謂的“幾乎所有的自然數(shù)都不是素?cái)?shù)”。用上面這個(gè)方法還可以比較兩個(gè)自然數(shù)集合的子集的相對(duì)大小，具體方法就由讀者自己來(lái)思考了。
如果沒(méi)有自然數(shù)序結(jié)構(gòu)這個(gè)“背景”，我們就只能夠使用一一對(duì)應(yīng)的方法來(lái)討論集合的基數(shù)，那種“自然數(shù)的個(gè)數(shù)是正偶數(shù)的個(gè)數(shù)的兩倍”的直覺(jué)只是一種錯(cuò)覺(jué)。比如說(shuō)考慮下面平面圖上，所有(2n,n)這樣的點(diǎn)所組成的集合(其中n是自然數(shù))。如果站在x軸的角度來(lái)看，我們發(fā)現(xiàn)每隔一列就有一個(gè)點(diǎn)，而列數(shù)顯然和自然數(shù)一樣多，所以點(diǎn)數(shù)就該和正偶數(shù)一樣多;如果站在y軸的角度來(lái)看，我們發(fā)現(xiàn)每行都有一個(gè)點(diǎn)，而行數(shù)也和自然數(shù)一樣多，所以點(diǎn)數(shù)就該和自然數(shù)一樣多。按照集合基數(shù)的觀點(diǎn)，自然數(shù)和正偶數(shù)一樣多，上面這種情況完全不造成矛盾，但是“直覺(jué)”所給予的一會(huì)兒“一樣多”一會(huì)兒“兩倍”的印象，就沒(méi)有太大的意義了(最多得到“兩倍的無(wú)窮大等于無(wú)窮大”這種我們按照一一對(duì)應(yīng)原則早已熟知，而且解釋得更好的觀點(diǎn))。
除了序結(jié)構(gòu)外，還有其他的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。法國(guó)著名的布爾巴基學(xué)派就認(rèn)為數(shù)學(xué)基于三種母結(jié)構(gòu)：序結(jié)構(gòu)、代數(shù)結(jié)構(gòu)和拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，各種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)可以混雜在一起得出不同的數(shù)學(xué)對(duì)象，比如說(shuō)實(shí)數(shù)集上有比較大小的序結(jié)構(gòu)，還有由算術(shù)運(yùn)算(加和乘，減和除是它們的逆運(yùn)算)定義的代數(shù)結(jié)構(gòu)，以及由極限理論(它規(guī)定了某些點(diǎn)必須在另一些點(diǎn)的“附近”)定義的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。布爾巴基學(xué)派試圖用結(jié)構(gòu)主義的觀點(diǎn)來(lái)統(tǒng)一數(shù)學(xué)，出版了著名的《數(shù)學(xué)原理》。結(jié)構(gòu)主義的觀點(diǎn)大致來(lái)說(shuō)，就是數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)決定數(shù)學(xué)對(duì)象。兩個(gè)分別定義在兩個(gè)不同集合上的數(shù)學(xué)對(duì)象，如果它們的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)相同，那么即使集合中的元素很不相同，它們其實(shí)也是同一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象。在數(shù)學(xué)中我們有時(shí)會(huì)碰到“同構(gòu)”這個(gè)詞，就是指在某種一一映射下，兩個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)相同。
舉一個(gè)簡(jiǎn)單的例子。中學(xué)里我們學(xué)過(guò)復(fù)數(shù)和它的幾何表示法，知道每個(gè)復(fù)數(shù)都可以對(duì)應(yīng)到直角坐標(biāo)平面上的一個(gè)點(diǎn)，而復(fù)數(shù)的加法和乘法也都有各自的幾何意義。在這里，一個(gè)復(fù)數(shù)是a+bi這樣的一對(duì)數(shù)，還是平面上的一個(gè)點(diǎn)(a,b)并不是關(guān)鍵，盡管一對(duì)數(shù)和一個(gè)點(diǎn)是完全不同的兩樣?xùn)|西，只要在實(shí)數(shù)對(duì)集合和平面點(diǎn)集上面由加法和乘法決定代數(shù)結(jié)構(gòu)是相同的，它們都可稱(chēng)作是復(fù)數(shù)，是同一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象。相反地，如果我們?cè)谄矫嫔隙x另一種乘法為(a1, b1)*(a2, b2)=((a1*a2, b1*b2)，那么盡管平面上的點(diǎn)仍舊是那些，但是因?yàn)樵谏厦嫠x的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)變了，于是就完全是兩種不同的數(shù)學(xué)對(duì)象了。
象上面這樣的例子中數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的相同當(dāng)然很直觀，而有一些此類(lèi)問(wèn)題則牽涉到極其深刻的數(shù)學(xué)理論，比如說(shuō)著名的龐加萊猜想(新千年的七大數(shù)學(xué)問(wèn)題之一，價(jià)值百萬(wàn)美金:-))就是問(wèn)，是否任意閉單連通3維流形都同胚于3維球，換句話說(shuō)，是否給定了“閉單連通”這個(gè)條件，在3維流形上就只能有一種拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，也就是3維球的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)?另外，證明兩個(gè)原來(lái)似乎沒(méi)有關(guān)系的數(shù)學(xué)對(duì)象的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)其實(shí)是相同的，意義非常重大，這樣的定理是連通兩個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域的橋梁。這意味著這兩個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象其實(shí)是同一種東西，對(duì)于其中一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象成立的理論，可以立刻應(yīng)用在另一個(gè)上面;以往用來(lái)研究一種數(shù)學(xué)對(duì)象的方法，就可以被用來(lái)研究另一類(lèi)數(shù)學(xué)對(duì)象。本文開(kāi)頭說(shuō)到英國(guó)數(shù)學(xué)家懷爾斯證明了費(fèi)爾馬大定理，他證明的其實(shí)是更一般的“谷山-志村猜想”。這個(gè)猜想就是此類(lèi)意義重大的命題，它溝通了兩個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域：橢圓曲線和模形式。它的證明被稱(chēng)為是“人類(lèi)智慧的凱歌”。
最后舉個(gè)搞笑的例子。網(wǎng)上有人發(fā)現(xiàn)了下面兩張圖片，左邊是變形金剛的電影招貼，右邊是藍(lán)貓的廣告，構(gòu)成畫(huà)面的元素不同，一個(gè)是機(jī)器人，一個(gè)是藍(lán)貓和它的朋友，但是擺的“甫士”和畫(huà)面結(jié)構(gòu)卻相同，也算是個(gè)不光彩的“同構(gòu)”例子吧。
“一個(gè)平面上的點(diǎn)應(yīng)該比一條直線上的點(diǎn)的個(gè)數(shù)多”這樣的直覺(jué)也可以用附加的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)來(lái)解釋合理性。當(dāng)我們想像直線或平面上的點(diǎn)時(shí)，我們不但想像了那些點(diǎn)集，同時(shí)也在想像著這些點(diǎn)集構(gòu)成的直線和平面，于是它們就再不是那些集合中散亂的點(diǎn)了，它們的排列非常有規(guī)律。換句話說(shuō)，我們?cè)邳c(diǎn)集上增加了決定直線和平面的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。如果我們把直線和平面看作是實(shí)數(shù)域上的線性空間(關(guān)于線性空間的理論是線性代數(shù)，所有理科的學(xué)生會(huì)在大學(xué)一年級(jí)學(xué)習(xí))，我們就遇見(jiàn)了一些數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)：首先我們需要一個(gè)實(shí)數(shù)域，上面有一個(gè)域的代數(shù)結(jié)構(gòu)，其次我們?cè)谥本�和平面的點(diǎn)集上定義了一個(gè)交換群的代數(shù)結(jié)構(gòu)，最后在實(shí)數(shù)域和交換群上定義了稱(chēng)作“數(shù)乘”的代數(shù)結(jié)構(gòu)，這個(gè)代數(shù)結(jié)構(gòu)同域和交換群上的各種運(yùn)算都兼容，這樣我們最終得到了這個(gè)被稱(chēng)為“實(shí)數(shù)域上的線性空間”的代數(shù)結(jié)構(gòu)。上面這一串話也許有點(diǎn)復(fù)雜，但是中心思想就是上面所說(shuō)的結(jié)構(gòu)主義的思想：數(shù)學(xué)對(duì)象是由各種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)混雜在一起(當(dāng)然要合理地混雜在一起，上面所說(shuō)的“兼容”就是這個(gè)意思)而得到的。一旦我們這樣規(guī)定了線性空間的結(jié)構(gòu)，我們就可以定義線性空間的維數(shù)，這時(shí)我們可以說(shuō)，兩維的線性空間(平面)在這種意義下要比一維的線性空間(直線)大。
從上面兩個(gè)例子我們看到，當(dāng)集合中的元素只是被看做一個(gè)沒(méi)有任何數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的集合中散亂的元素時(shí)，我們只能用一一對(duì)應(yīng)的方法來(lái)比較集合的大小;而當(dāng)豐富多彩的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)被加在集合上時(shí)，我們才有可能用更精細(xì)和更符合直覺(jué)的手段來(lái)定義不同的比較(附加有數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的)集合大小的方法。
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